Maxwellove rovnice v dutinovom rezonátore

Schumannova rezonancia je vlastné elektromagnetické kmitanie guľovej dutiny medzi zemským povrchom a spodnou ionosférou. Polia sa odvodzujú z Maxwellových rovníc zapísaných na sférickej škrupine s vnútorným polomerom a (povrch Zeme) a vodivou hornou hranicou (ionosféra) Sentman 1995Nickolaenko Hayakawa 2002.

V dutine dominujú TM módy (transverse magnetic): majú vertikálne (radiálne) elektrické pole E_r a horizontálne magnetické pole; zložka E v smere šírenia je prítomná, kým H je čisto priečne. To zodpovedá fyzike ELF zdroja — bleskov ako vertikálnych prúdových kanálov — aj geometrii tenkej dutiny, ktorej hrúbka (desiatky km) je oveľa menšia než vlnová dĺžka (tisíce km) aj obvod Zeme.

Z bezzdrojových Maxwellových rovníc sa pre harmonickú závislosť e^{-i\omega t} získa vlnová (Helmholtzova) rovnica \nabla^2 \psi + k^2 \psi = 0 s k = \omega/c. Vďaka guľovej symetrii sa riešenie separuje na radiálnu a uhlovú časť; uhlová časť vedie na sférické harmoniky Y_n^m(\theta,\varphi), respektíve Legendrove funkcie P_n(\cos\theta). Indexy n číslujú vlastné módy dutiny.