Sférický rezonátor a vlastné hodnoty (eigenmódy)

Dutinu Zem–ionosféra možno chápať ako sférický rezonátor: vlny s vlnovou dĺžkou porovnateľnou s obvodom Zeme (\approx 40\,000 km) sa po obvode skladajú do stojatého vlnenia. Rezonancia nastáva, keď celočíselný počet vlnových dĺžok „obíde“ planétu — odtiaľ diskrétne spektrum vlastných módov (eigenmódov) číslovaných n = 1, 2, 3, \dots

Matematicky vychádza uhlové číslo n z požiadavky, aby riešenie Legendrovej rovnice bolo regulárne na celej guli; prípustné sú len celé hodnoty n, ku ktorým patria Legendrove polynómy P_n(\cos\theta). Mód n má na sfére n uzlových kružníc, takže n=1 je najnižšia (dipólová) konfigurácia, n=2 kvadrupólová atď. Každý mód je v ideálnej (sféricky symetrickej) dutine (2n+1)-násobne degenerovaný v azimutálnom čísle m — táto degenerácia sa v reálnej, nehomogénnej dutine ruší a vedie k štiepeniu módov (pozri #24).

Vlastná hodnota určuje rezonančnú frekvenciu f_n daného módu. Pre ideálnu dutinu má uzavretý tvar (pozri #17), pre reálnu dutinu sa získava numericky.